ブール代数の簡単化定理

ブール代数とは？

「真（true）」「偽（false）」の2値を取り扱う数学を「ブール代数」と呼びます。
「デジタル回路をいかに構成するか？」について考えるとき、
このブール代数の考え方が大変有効なものになります。
このことから、ブール代数は論理回路設計の基礎になっています。

ブール代数とは、イギリスの数学者 “ブール” が自身の著書「思考の法則に関する研究」の中で提唱した記号論理学のことです。

ブール代数の基本となる考え方は、真を「1」、偽を「0」で表すこと。
ブール代数は，真と偽だけ（1と0だけ）を対象とした代数です。
したがって、1と0だけを対象とした演算を行う。

演算と言っても、加減乗除の四則演算ではなく、

• AND（論理積）
• OR（論理和）
• NOT（論理否定）

という3つの演算を基本とした「論理演算」を行うことになる。

論理演算　基本の3つ

１．論理積（A・B　＝　L）

２．論理和（A＋B　＝　L）

３．論理否定（￢A　＝　L　または　Ā　＝　L）

この3つを使って、ブール代数の諸定理を考えていきます。

簡単化の基本パターン３

①　A・B＋A・￢B
　　＝　A・（B＋￢B）
　　＝　A・（１）
　　＝　A

②　A＋￢A・B
　　＝　A・１＋￢A・B
　　＝　A・（B＋￢B）＋￢A・B
　　＝　A・B＋A・￢B＋￢A・B
　　＝　（A・B＋A・B）＋A・￢B＋￢A・B
　　＝　A・（B＋￢B）＋B・（A＋￢A）
　　＝　A・（１）＋B・（１）
　　＝　A＋B

③　A・B＋￢A・C＋B・C
　　＝　A・B＋￢A・C＋B・C・１
　　＝　A・B＋￢A・C＋B・C・（A＋￢A）
　　＝　A・B＋￢A・C＋（B・C・A＋B・C・￢A）
　　＝　（A・B・１）＋（￢A・C・１）＋（B・C・A＋B・C・￢A）
　　＝　A・B・（１＋C）＋￢A・C・（１＋B）
　　＝　A・B・（１）＋￢A・C・（１）
　　＝　A・B＋￢A・C